Montante Composto

Apresentação

A matemática financeira é amplamente trabalhada em diversos cursos de graduação, por ser uma ferramenta adequada para a tomada de decisões relacionadas ao mercado financeiro. Uma das aplicações práticas da Matemática Financeira em nosso dia a dia é no cálculo dos rendimentos de caderneta de poupança. Confira aqui essa aplicação.

OBJETIVOS
  • Fazer uso da fórmula dos juros compostos em diferentes situações.
  • Construir a fórmula dos juros compostos de maneira formal e por meio de exemplos.
  • Reconhecer as possibilidades de aplicação da fórmula dos juros compostos.
  • Criar tabelas e gráficos que representem as noções trabalhadas.

Ficha técnica

Unidades didáticas às quais este conteúdo pode pertencer:
  • Matemática Financeira
Outros conteúdos que podem se relacionar a este:
  • Até o momento, não foram cadastrados conteúdos relacionados.
Níveis de ensino apropriados:
  • Ensino Médio
  • Ensino Superior

Créditos

Autores:
Coordenação pedagógica: Prof.ª Dr. Valeria Iensen Bortoluzzi
Coordenação técnica: Prof. Ms. Iuri Lammel
Instituição: Centro Universitário Franciscano (UNIFRA)
Data de publicação: Maio de 2011
Local: Santa Maria - RS (BRA)
Como citar este conteúdo:
MAIS UNIFRA. Montante Composto. Santa Maria, RS: Unifra, 2011. Online. Disponível em: http://maisunifra.com.br/conteudo/montante-composto/.

Bibliografia

Bibliografia que embasa este conteúdo:
  • VERAS, L.L. Matemática Financeira. Atlas, 5ª Ed. São Paulo, 2005.
  • SAMANEZ, C.P. Matemática Financeira. Pearson, 5ª Ed. São Paulo, 2010.
  • SAMANEZ, C.P. Matemática Financeira. Pearson, 5ª Ed. São Paulo, 2010.
  • SAMANEZ, C. P. Engenharia Econômica. Pearson. São Paulo, 2009.
  • VELTER, F. e MISSAGIA, L. Aprendendo Matemática financeira. Campus. 2006.
  • CALCULADORA DE JUROS COMPOSTOS EM EXCEL. Disponível em www.somatematica.com.br, arquivo “Juros Compostos 1.0.xls”, acesso em 03/12/2010, material criado por Acácio Nerull.
  • CALCULADORA FINANCEIRA ON LINE. Disponível em http://www.calculadoraonline.com.br/financeira, acesso em 03/12/2010. Material de livre acesso.

Espaço do professor

Olá, professor!
A seção Ideias e Propostas tem você como foco, ao fornecer sugestões de trabalho, em diferentes contextos, com os conteúdos que você encontra no MAIS Unifra. O documento que você vai acessar não é um plano de aula, por isso não pode substituir seu planajemento pessoal. Mas você poderá ter boas ideias a partir das nossas.
Aproveite este espaço e bom trabalho!

Introdução

A matemática financeira é amplamente trabalhada em diversos cursos de graduação, por ser uma ferramenta adequada para a tomada de decisões relacionadas ao mercado financeiro.

Entretanto, o ensino desse componente curricular mostra-se alheio à realidade do mercado, quando deveria ser a meta da Matemática Financeira. A percepção deste fato é clara na observação dos livros didáticos específicos que apresentam esse componente curricular de forma nada dinâmica, com os problemas matemáticos previamente determinados e sem espaço para as novidades e os imprevistos do mercado.

Assim, formam-se profissionais com características fortes do ponto de vista do conteúdo puramente matemático, mas inexperientes quanto a aplicações desse conteúdo à realidade do mercado.

Juros simples e composto

Quando você empresta dinheiro, ou o toma emprestado, há sempre a aplicação de juros sobre o capital disponibilizado. Há dois regimes de juros: o composto, normalmente empregado em transações financeiras oficiais; e o simples, normalmente utilizado nas negociações financeiras de cunho mais íntimo, familiar.

O regime de juros compostos caracteriza-se pela incorporação dos juros de um período de tempo determinado ao capital que gerou estes juros. Desta forma, no próximo período de tempo, o capital, acrescido dos juros, irá gerar novos juros. Nos juros compostos, os juros aumentam a cada período, pois o capital também aumenta.

No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre iguais, pois a taxa incide sempre sobre o mesmo capital inicial.

Construção da fórmula do montante composto

Vamos considerar a aplicação de um capital C a juros compostos com taxa i% durante n períodos.

A construção da fórmula para o montante composto será feita utilizando o recurso matemático dos Acréscimos com Porcentagens.

No início da aplicação tem-se um capital

C0 (capital inicial)

No final do primeiro período tem-se o capital C1, constituído pelo capital inicial (C0) acrescido da taxa i%, ou seja:

C1 = C0(1 + i/100)

No final do segundo período, a taxa i incide sobre C1 (e não mais sobre C0):

C2 = C1(1 + i/100)

Mas como já existe uma expressão para C1 em função de C0 e i, obtém-se

C2 = C0(1 + i/100) (1 + i/100), logo,
C2 = C0(1 + i/100)2

Uma ótima maneira de se visualizar como se constrói a equação do montante composto é estudando a poupança. Veja como, na página de atividades complementares.

Da mesma forma, ao final do terceiro período, a taxa incide sobre o montante do segundo período, gerando

C3 = C0(1 + i/100)3

Continuando o processo para n períodos, tem-se

Cn = C0(1 + i/100)n

Chama-se montante a soma do capital com os juros de cada período e normalmente é representado por M, assim, escreve-se

M = C0(1 + i/100)n

Representação gráfica do montante composto

Uma das formas mais utilizadas para representação do montante composto em aplicações financeiras de longo prazo, ou para comparação de rentabilidade em períodos diferentes, é o gráfico. Vamos ver como essa representação gráfica se constrói. Consideremos um capital de R$ 1000,00 aplicados a juros compostos sob uma taxa de 10% ao ano. Para representar graficamente esta aplicação, determina-se o montante a cada período, formando pares ordenados onde a primeira coordenada é o tempo e a segunda é o montante:

  • n = 0 → M = 1000(1,10)0 = 1000 → (0,1000)
  • n = 1 → M = 1000(1,10)1 = 1100 → (1,1100)
  • n = 2 → M = 1000(1,10)2 = 1210 → (2,1210)
  • n = 3 → M = 1000(1,10)3 = 1210 → (3,1331)

Com os pares ordenados, constrói-se o gráfico ao lado (à direita).

Que tal vermos como o gráfico se constrói? A animação abaixo nos mostra a construção do gráfico do montante composto.

Diferença gráfica entre os regimes de juros compostos e juros simples

Construindo os dois gráficos, o do montante simples e o do composto, e os colocando no mesmo sistema de eixos, podemos perceber as suas diferenças.

Podemos observar que os gráficos se encontram no período 1, significando que o montante nos dois sistemas é o mesmo. O gráfico do montante simples é uma reta cuja inclinação é dada pela taxa, enquanto o gráfico do montante composto representa uma exponencial.

Note que entre o início da capitalização e o primeiro período, o regime de juros simples tem montante superior ao regime de juros compostos, o que não se verifica após o período 1.

Em qual intervalo de tempo o montante composto é menor que o simples?

Mova o ponto A sobre o eixo do tempo e verifique o que acontece com os valores dos montantes simples e composto.

Determine o valor dos montantes simples e composto nos casos:

  • 0 <= tempo < 1
  • tempo = 1
  • tempo > 1

Atividades

Construção da fórmula do montante composto
Neste objeto de aprendizagem, o objetivo é compreender a construção da fórmula do montante composto a partir da poupança.

Atividades sobre a fórmula do montante composto
Lista de atividades sobre a fórmula do montante composto, com apresentação de gabarito.

MAIS

Objetos de Aprendizagem

matematica_montcomp_formula_miniatura01
Construção da fórmula do montante composto
Animação que simula em um gráfico a construção da fórmula do montante composto.
Tipo da mídia:
matematica_montcomp_graficomp_miniatura01
Gráfico comparativo entre montante simples e composto
Animação que simula em um gráfico a diferença entre a reta inclinada do montante simples e a exponencial do montante composto.
Tipo da mídia:
mat_montante-simples_grafico-montante_miniatura
Gráfico do montante simples
Preencha a tabela com o montante dos períodos correspondentes para, assim, visualizar um gráfico que mostra a evolução do montante em relação ao tempo.
Tipo da mídia:
matematica_montcomp_juroemont_miniatura01
Juro e Montante Composto
Animação que simula a evolução do juro e montante composto em um gráfico.
Tipo da mídia:

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