Distâncias inacessíveis utilizando as razões trigonométricas
Apresentação
A trigonometria estuda a relação entre os lados e os ângulos de um triângulo e apresenta um vasto campo de aplicações em situações cotidianas. Desde a antiguidade, a Trigonometria já era utilizada para determinar distâncias inacessíveis, tais como o valor do raio da Terra, medições que poderiam ser impossíveis ou difíceis de determinar, caso não se dispusesse dos conhecimentos sobre a Trigonometria.
- Aplicar razões trigonométricas para calcular distâncias inacessíveis.
- Identificar catetos e hipotenusa em triângulos retângulos.
- Identificar a aplicabilidade das razões trigonométricas em situações reais.
Ficha técnica
- Trigonometria do triângulo retângulo
- Teorema de Pitágoras
- Sistema de medidas de comprimento
- Ângulos
- Ensino Fundamental
- Ensino Médio
Créditos
Bibliografia
Espaço do professor
Download das ideias e propostas para este conteúdo.Introdução
A trigonometria teve origem no estudo das relações das medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e, em particular, do triângulo retângulo. Esse estudo se iniciou com problemas do dia a dia, especialmente aqueles relacionados à astronomia, uma das grandes impulsionadoras do desenvolvimento da trigonometria, tornando possível calcular distâncias inacessíveis desejadas.
Em inúmeras situações, como na demarcação de terras ou no cálculo da altura de uma montanha, é preciso determinar distâncias cuja medição direta não é possível. É comum, então, recorrer ao teodolito, um instrumento que calcula ângulos para medir tais distâncias. Com base nos dados obtidos por meio da utilização do teodolito, a altura de uma árvore, prédio ou torre, a largura de um rio ou de uma lavoura pode ser medida e, para isso, usamos razões trigonométricas.
O teodolito é um instrumento utilizado em agrimensura para medir ângulos. Trata-se de um instrumento portátil de astronomia e de geodésia que serve para medir ângulos horizontais e verticais. Sua estrutura é composta por uma luneta, que permite visão apurada em qualquer direção; uma placa horizontal embaixo da luneta, que fornece leituras no horizonte em graus, minutos e segundos; uma placa e uma escala verticais, montadas à esquerda da luneta, que permitem a tomada de leituras verticais. Para facilitar o manuseio, na maioria das vezes que é utilizado, o teodolito é colocado sobre tripé (base de três pés).
Triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é aquele em que um de seus ângulos internos é reto, ou seja, mede 90º, e os outros dois ângulos são agudos, o que significa que têm menos do que 90º.
Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados, ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. O conhecimento da relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é básico no estudo da trigonometria.
Lados de um triângulo retângulo
Tomando um triângulo retângulo qualquer formado pelos segmentos de reta que unem os pontos A, B e C, o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa e os lados que formam este ângulo chamam-se catetos. Os catetos são lados adjacentes ao ângulo reto.
A palavra hipotenusa, de origem grega hypotenousa, é formada pelas palavras hypo, que significa “debaixo” e teinein, que corresponde a “esticado”. Ou seja, hipotenusa é o lado do triângulo retângulo que está estendido em sentido oposto ao ângulo reto.
Os catetos levam esse nome da origem grega káthetos, cujo significado reside na expressão “abaixado de maneira reta”. Os catetos podem ser chamados de cateto oposto ou cateto adjacente ao ângulo considerado, dependendo da posição do cateto em relação a este ângulo. Pode-se usar abreviações para cateto oposto como c.o., e para cateto adjacente como c.a., bem como a abreviação h, para hipotenusa.
Vale ressaltar que, para identificar a medida de algum elemento (lado ou ângulo) de um triângulo retângulo, são necessárias pelo menos outras duas medidas, dentre as quais necessariamente a medida de um de seus lados.
Razões trigonométricas
O que são razões trigonométricas?
Antes de buscarmos a resposta da pergunta, assista ao vídeo abaixo:
Consideremos a subida de um avião sob um ângulo de 10º em relação ao solo, verificando-se duas posições distintas da extremidade frontal dessa aeronave. Tendo isso em consideração, obtemos dois triângulos retângulos, ABC e AEF.
Os triângulos ABC e AEF são semelhantes.
Nesse caso, os triângulos ABC e AEF são semelhantes porque têm um ângulo em comum, o ângulo Â, e os outros dois ângulos internos têm, respectivamente, a mesma medida.
Vamos determinar algumas razões em cada triângulo.
Primeiramente, analisando o triângulo AEF, podemos escrever algumas razões:
A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos E e F) e o percurso entre os pontos A e F determinam uma constante, R1.
A razão entre o afastamento (distância entre os pontos A e E) e o percurso (distância entre os pontos A e F) determinam uma constante S1.
A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos E e F) e o afastamento (distância entre os pontos A e E) determinam uma constante T1.
Vamos analisar algumas razões no triângulo retângulo ABC:
A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos B e C) e o percurso entre os pontos A e C determinam uma constante, R2.
A razão entre o afastamento (distância entre os pontos A e B) e o percurso (distância entre os pontos A e C) determinam uma constante S2.
A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos B e C) e o afastamento (distância entre os pontos A e B) determinam uma constante T2 .
Sabendo que os triângulos ABC e AEF são semelhantes, pode-se concluir que R1 = R2, S1 = S2, e T1 = T2.
E, à medida que a aeronave vai descrevendo o percurso, mantendo o mesmo ângulo de inclinação Â, pode-se tomar outros triângulos retângulos semelhantes aos triângulos ABC e AEF.
Essas três razões são denominadas RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS do triângulo retângulo e cada uma delas recebe um nome em especial: Seno, Cosseno e Tangente.
A partir de um triângulo retângulo qualquer, pode-se escrever o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo, da seguinte forma:
- o seno do ângulo  é igual a razão entre a medida do cateto oposto a este ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo. Abrevia-se a expressão seno por "sen".
Seno:
- o cosseno do ângulo  é igual a razão entre a medida do cateto adjacente a este ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo. Abrevia-se a expressão cosseno por "cos".
Cosseno:
- a tangente do angulo  é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo. Abrevia-se a expressão tangente por "tg".
Tangente:
Atividades
Nas atividades abaixo, você deverá descobrir certas medidas entre o observador e a obra observada, utilizando, no cálculo, razões trigonométricas:
MAIS
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