Distâncias inacessíveis utilizando as razões trigonométricas

Apresentação

A trigonometria estuda a relação entre os lados e os ângulos de um triângulo e apresenta um vasto campo de aplicações em situações cotidianas. Desde a antiguidade, a Trigonometria já era utilizada para determinar distâncias inacessíveis, tais como o valor do raio da Terra, medições que poderiam ser impossíveis ou difíceis de determinar, caso não se dispusesse dos conhecimentos sobre a Trigonometria.

OBJETIVOS
  • Aplicar razões trigonométricas para calcular distâncias inacessíveis.
  • Identificar catetos e hipotenusa em triângulos retângulos.
  • Identificar a aplicabilidade das razões trigonométricas em situações reais.

Ficha técnica

Unidades didáticas às quais este conteúdo pode pertencer:
  • Trigonometria do triângulo retângulo
Outros conteúdos que podem se relacionar a este:
  • Teorema de Pitágoras
  • Sistema de medidas de comprimento
  • Ângulos
Níveis de ensino apropriados:
  • Ensino Fundamental
  • Ensino Médio

Créditos

Autores:
Coordenação pedagógica: Profª. Dr. Valeria Iensen Bortoluzzi
Coordenação técnica: Prof. Ms. Iuri Lammel
Instituição: Centro Universitário Franciscano (UNIFRA)
Data de publicação: Agosto de 2013
Local: Santa Maria, RS
Como citar este conteúdo:
MAIS UNIFRA. Distâncias inacessíveis utilizando as razões trigonométricas. Santa Maria, RS: Unifra, 2013. Online. Disponível em: http://maisunifra.com.br/conteudo/distancias-inacessiveis-utilizando-as-razoes-trigonometricas/.

Bibliografia

Bibliografia que embasa este conteúdo:
  • DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume Único. 1 ed. São Paulo: Ática, 2005.
  • DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 3 ed. São Paulo: Ática, 2009.
  • RIO GRANDE DO SUL. Secretaria de Estado da Educação. Referenciais Curriculares do Rio Grande do Sul: Matemática e suas Tecnologias. Porto Alegre: SE/DP, 2009.
  • SECRETARIA DA EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Secretaria de Educação Básica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

Espaço do professor

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A seção Ideias e Propostas tem você como foco, ao fornecer sugestões de trabalho, em diferentes contextos, com os conteúdos que você encontra no MAIS Unifra. O documento que você vai acessar não é um plano de aula, por isso não pode substituir seu planajemento pessoal. Mas você poderá ter boas ideias a partir das nossas.
Aproveite este espaço e bom trabalho!

Introdução

Teodolito moderno. Fonte: http://www.sxc.hu/photo/614853Teodolito astronômico, de 1836. Crédito: Joe Mabel (Creative Commons)Teodolito antigo. Crédito: Audringje (Creative Commons)Teodolito moderno. Crédito: Vaughan Willis / sxc.huTeodolito no "Museo Geominero de Madrid".
Teodolito moderno. Fonte: http://www.sxc.hu/photo/614853

Teodolito moderno. Fonte: http://www.sxc.hu/photo/614853

Teodolito astronômico, de 1836. Crédito: Joe Mabel (Creative Commons)

Teodolito astronômico, de 1836. Crédito: Joe Mabel (Creative Commons)

Teodolito antigo. Crédito: Audringje (Creative Commons)

Teodolito antigo. Crédito: Audringje (Creative Commons)

Teodolito moderno. Crédito: Vaughan Willis / sxc.hu

Teodolito moderno. Crédito: Vaughan Willis / sxc.hu

Teodolito no

Teodolito no "Museo Geominero de Madrid".

A trigonometria teve origem no estudo das relações das medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e, em particular, do triângulo retângulo. Esse estudo se iniciou com problemas do dia a dia, especialmente aqueles relacionados à astronomia, uma das grandes impulsionadoras do desenvolvimento da trigonometria, tornando possível calcular distâncias inacessíveis desejadas.

Em inúmeras situações, como na demarcação de terras ou no cálculo da altura de uma montanha, é preciso determinar distâncias cuja medição direta não é possível. É comum, então, recorrer ao teodolito, um instrumento que calcula ângulos para medir tais distâncias. Com base nos dados obtidos por meio da utilização do teodolito, a altura de uma árvore, prédio ou torre, a largura de um rio ou de uma lavoura pode ser medida e, para isso, usamos razões trigonométricas.

Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é aquele em que um de seus ângulos internos é reto, ou seja, mede 90º, e os outros dois ângulos são agudos, o que significa que têm menos do que 90º.

Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados, ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. O conhecimento da relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é básico no estudo da trigonometria.

Lados de um triângulo retângulo

Tomando um triângulo retângulo qualquer formado pelos segmentos de reta que unem os pontos A, B e C, o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa e os lados que formam este ângulo chamam-se catetos. Os catetos são lados adjacentes ao ângulo reto.

Triângulo retângulo em B

A palavra hipotenusa, de origem grega hypotenousa, é formada pelas palavras hypo, que significa “debaixo” e teinein, que corresponde a “esticado”. Ou seja, hipotenusa é o lado do triângulo retângulo que está estendido em sentido oposto ao ângulo reto.

Os catetos levam esse nome da origem grega káthetos, cujo significado reside na expressão “abaixado de maneira reta”. Os catetos podem ser chamados de cateto oposto ou cateto adjacente ao ângulo considerado, dependendo da posição do cateto em relação a este ângulo. Pode-se usar abreviações para cateto oposto como c.o., e para cateto adjacente como c.a., bem como a abreviação h, para hipotenusa.

Vale ressaltar que, para identificar a medida de algum elemento (lado ou ângulo) de um triângulo retângulo, são necessárias pelo menos outras duas medidas, dentre as quais necessariamente a medida de um de seus lados.

Razões trigonométricas

O que são razões trigonométricas?

Antes de buscarmos a resposta da pergunta, assista ao vídeo abaixo:

Consideremos a subida de um avião sob um ângulo de 10º em relação ao solo, verificando-se duas posições distintas da extremidade frontal dessa aeronave. Tendo isso em consideração, obtemos dois triângulos retângulos, ABC e AEF.

Os triângulos ABC e AEF são semelhantes.

Nesse caso, os triângulos ABC e AEF são semelhantes porque têm um ângulo em comum, o ângulo Â, e os outros dois ângulos internos têm, respectivamente, a mesma medida.

Vamos determinar algumas razões em cada triângulo.

Primeiramente, analisando o triângulo AEF, podemos escrever algumas razões:

A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos E e F) e o percurso entre os pontos A e F determinam uma constante, R1.

A razão entre o afastamento (distância entre os pontos A e E) e o percurso (distância entre os pontos A e F) determinam uma constante S1.

A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos E e F) e o afastamento (distância entre os pontos A e E) determinam uma constante T1.

Vamos analisar algumas razões no triângulo retângulo ABC:

A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos B e C) e o percurso entre os pontos A e C determinam uma constante, R2.

A razão entre o afastamento (distância entre os pontos A e B) e o percurso (distância entre os pontos A e C) determinam uma constante S2.

A razão entre a altura da aeronave em relação ao solo (distância entre os pontos B e C) e o afastamento (distância entre os pontos A e B) determinam uma constante T2 .

Sabendo que os triângulos ABC e AEF são semelhantes, pode-se concluir que R1 = R2, S1 = S2, e T1 = T2.

E, à medida que a aeronave vai descrevendo o percurso, mantendo o mesmo ângulo de inclinação Â, pode-se tomar outros triângulos retângulos semelhantes aos triângulos ABC e AEF.

Essas três razões são denominadas RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS do triângulo retângulo e cada uma delas recebe um nome em especial: Seno, Cosseno e Tangente.

A partir de um triângulo retângulo qualquer, pode-se escrever o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo, da seguinte forma:

- o seno do ângulo  é igual a razão entre a medida do cateto oposto a este ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo. Abrevia-se a expressão seno por "sen".

- o cosseno do ângulo  é igual a razão entre a medida do cateto adjacente a este ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo. Abrevia-se a expressão cosseno por "cos".

- a tangente do angulo  é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo. Abrevia-se a expressão tangente por "tg".

Atividades

Nas atividades abaixo, você deverá descobrir certas medidas entre o observador e a obra observada, utilizando, no cálculo, razões trigonométricas:

MAIS

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Objetos de Aprendizagem

miniatura_mat_distancias-inacessiveis_video-aviao
Animação formando triângulos retângulos semelhantes
Animação de um avião que, ao levantar voo, forma triângulos retângulos semelhantes.
Tipo da mídia:
miniatura_mat_distancias-inacessiveis_atividade-eiffel
Cálculo da altura da torre Eiffel
Simulação de cálculo da altura da torre Eiffel utilizando razões trigonométricas.
Tipo da mídia:
miniatura_mat_distancias-inacessiveis_atividade-cristo
Cálculo da distância até a estátua do Cristo Redentor
Simulação de cálculo da distância até a estátua do Cristo Redentor utilizando razões trigonométricas.
Tipo da mídia:
miniatura_mat_distancias-inacessiveis_atividade-hotel
Cálculo do ângulo formado entre o solo e o topo de prédio
Simulação de cálculo do ângulo formado entre o solo e o topo do hotel Ryugyong utilizando razões trigonométricas.
Tipo da mídia:

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